原理介绍：
这一个月来恶补了一下大学的数学知识，把高数、线代、概率论、复变函数和积分变换又温习了一遍，大学里学的差一点就忘光了。大学时每次上数学课可都是昏昏欲睡啊！哈哈！学习人工智能中关于分类的知识，碰到很多数学描述都看不太懂，才意识到自己的数学在不拾一拾就剩加减乘除了。
一个同事，也是搞C++ 的，对预测彩票非常感兴趣。我们认为这是个数学问题。做游戏开发，碰到数学问题还真不多，大部分都是逻辑问题，如A打伤了B，B打死了C诸如此类。然后提到如何实现通过程序为人们推荐手机，发现主要也是数学问题。总结来，在日常的软件开发中，主要涉及逻辑控制和数学建模两大部分，为了实现逻辑控制，我们精通编程语法，熟记API，优雅的涉及模块和类，高效的传输和存储数据。是的，这确实已经是很复杂的学问了。但对于我们来说，数学问题更让人着迷。
其实今天是要记录一下k-NN最近邻规则算法的。最近养成了一个习惯，将一个数学模型掌握以后，应用到一个例子中，并把它用Blog记录下来。K-NN是一种非常朴素的分类算法，但是在步入正题之前，还是要抛个转。
比如要实现一个模型为人人们推荐购买哪一款手机。为简化模型我们只基于协同过滤做推荐（洒家也是在推荐系统论坛长期潜水之人，常用的推荐策略还是略知一二的）。举个例子，已知A、B二人，A是月薪15k年龄28的帅哥，而B是月薪3K的年龄23的实习生，还知道A购买了Iphone， 而B购买了小米。如果C是月薪13K年龄27，那么你十分有可能和A进行相同的选择，也去购买Iphone。数学上认为C的函数值更解决于A。这就是k-NN最近邻规则的思想，找到和目标属性最接近的样本，并把它们归为同一类别。物以类聚，人以群分嘛。
如果已知100 个各个收入阶层、各个年龄段的手机购买数据，把其作为训练样本，从中选择一个和目标情况最为接近的一个样本，并把该样本使用的手机推荐给目标，这种分类方法称之为1-NN最近邻规则。进行推广之，从100 人中选出5个最接近目标情况的样本，并把他们使用最多的一款手机推荐给目标，则称之为k-NN最近邻规则，此时k=5。
设计k-NN最近邻规则时，最重要的是确定k值和设计计算样本之间距离（或相似度）的度量函数。
首先说计算k值。有时可以根据经验。比如上面推荐手机的例子，k=1 显然不合适，比如月薪20k的大牛可能就喜欢android，非要买个三星也是有的，如果目标和此大牛情况相近就会被推荐三星，但是实际上这一类人大部分都在使用iphone。而若选择5，那么虽然这个大牛使用了三星，但是其他四个人都是使用iphone，那么系统仍然会推荐iphone，这就非常符合现实情况了。但是k值又不能太大，太大计算量增大，并且有可能会出现给一个20k的大牛推荐山寨机的结果。更科学的方法是尝试几种最有可能的k值，计算该k值下的误差率，选择误差率最小k值。
下面再说一下如何计算两个样本之间的距离，即确定一个度量函数D。任意两个样本a、b，D(a, b) 得到a、b之间的距离。而a样本又有各个属性，数学表示X=(x1, x2,…..)。最简单计算距离的方法是欧几里得公式：
但是欧几里得法有一个缺陷，若属性的单位发生变化，可能会影响原来各个样本之间的相对距离。如把月薪20k改成月薪20000那么可能会造成原来A更接近于B，但是变成A更接近于C。这里也能说明k值不宜选的太小。
下面附一个小示例：
已知20个样本：
| 样本 | 月收入 | 年龄 | 手机 |
| 1 | 2k | 18 | Iphone6 |
| ……. |
|
|
|
| 10 | 5k | 23 | 小米 |
| …… |
|
|
|
| 50 | 10k | 25 | Iphone |
又已知10个测试样本：
| 样本 | 月收入 | 年龄 | 手机 |
| 1 | 6k | 22 | 三星 |
| ……. |
|
|
|
| 2 | 9k | 25 | Iphone |
距离度量函数选择欧几里得公式，不同的K值测试的误差对比如下：
| K值 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 误差率 | 19% | 19% | 10% | 28% | 19% | 28% | 28% | 28% | 28% |
所以选择K值为3，
运行代码如下：
train_data = []test_data = []def init_data(): f = open("train_data.txt") dest = train_data for line in f.readlines(): if len(line) == 0: continue if line[0] == '#': if -1 != line.find('test_data'): dest = test_data continue line_array = line.strip().split() if len(line_array) == 3: line_array[0] = float(line_array[0]) line_array[1] = int(line_array[1]) line_array.append(0) dest.append(line_array) f.close()def select_k_neighbour(k, income, age): def my_cmp(E1, E2): return -cmp(E2[3], E1[3]) distance = [] for item in train_data: income2 = item[0] age2 = item[1] item[3] = (income - income2) * (income - income2) + (age - age2) * (age - age2) distance.append(item) distance.sort(my_cmp) select_k = {} for k in range(0, k): phone = distance[k][2] if False == select_k.has_key(phone): select_k[phone] = 1 else: select_k[phone] = select_k[phone] + 1 ret_phone = '' max = 0 for k in select_k: if select_k[k] > max: max = select_k[k] ret_phone = k return ret_phonedef knn_train(k): right = 0.0 wrong = 0.0 for item in test_data: income = item[0] age = item[1] phone = item[2] ret_phone = select_k_neighbour(k, income, age) if ret_phone == phone: right = right + 1 else: wrong = wrong + 1 return right / (right + wrong)init_data()print("train_data", train_data)print("test_data", test_data)ret = []for i in range(0, 10): rate = 1 - float(int(knn_train(i+1) * 100 )) / 100 ret.append(str(rate))print('')print(ret) 数据文件为：
# train_data# income age phone 2 20 N 3 21 M 3 22 N 3.5 22 N 4 23 M 4 24 M 5 24 M 5.5 25 M 6 25 M 7 26 I 7.5 25 M 7.5 28 I 8 27 I 9 27 I 10 29 I 11 28 M 12 27 I 13 28 M 14 30 I 15 30 I 16 30 I # test_data 2.5 23 N 3 24 M 3.5 24 N 4 25 M 4.5 26 M 5.5 26 M 6 27 I 7 26 M 8 28 I 9 30 I 12 31 I
k-NN 算法的优化：
很显然的一个问题是k-NN要求遍历所有的训练样本，若训练样本非常庞大，那么计算量可能是不能接受的。针对k-NN算法的优化方法有：
裁剪训练样本
既然训练样本太多，那么我们就把训练样本比较接近的合并成一项，如月薪10k-12k的统一化为10k之类，减少训练样本数量。
建立搜索树
思想就是先分几个大类，在再小类中找相似的，如>10k的在某一类别中，那么一次可以淘汰N多不太可能的计算。
属性降维法
本文中只选择了收入和年龄作为人的属性，实际让远远应比此大的多的多，在遍历训练样本时，可以从中选择有代表性的属性用于计算，或者可以通过变换减少属性。